확률 미적분학 입문

확률 미적분 소개

0. 소개

• 이 문서는 확률 미적분에 대한 간단한 소개임. 확률 이론의 복잡한 형식보다는 물리적 직관과 브라운 운동의 유도에 중점을 둠.
• 확률 공간, 측도 이론, 필터링 등의 기술적 형식은 피하고 잘 정의된 사례만 고려함.
• 확률 미적분이 물리적 세계에서 자연스럽게 발생하는 방법을 널리 알리고자 함.

응용

• 브라운 운동과 이토 미적분은 실제 세계를 모델링하는 데 사용되는 고급 수학의 예임.
• 물리학: 아인슈타인은 브라운 운동을 사용하여 원자의 존재를 증명함.
• 금융: 옵션 가격 책정은 확률 미분 방정식에 의존함.
• 생물학: 무작위 걷기는 종의 확산이나 뉴런의 발화를 모델링함.
• 기계 학습에서도 점점 더 많은 응용이 나타나고 있음.

1. 동기

• 파스칼의 삼각형은 이항 분포를 설명하는 데 사용됨.
• 독립적인 시도에서 성공과 실패의 수를 모델링함.
• 실제 세계는 종종 연속적인 과정을 포함하므로 미적분이 더 자연스러움.

2. 이산 단계에서 연속 한계로

• 이항 분포가 연속적으로 변환될 때의 수학적 의미를 탐구함.
• 이산적인 무작위 걷기가 연속적인 한계에서 정규 분포로 수렴함을 설명함.
• 중심 극한 정리에 따라 많은 독립적인 무작위 변수의 합은 정규 분포에 가까워짐.

3. 브라운 운동 정의 (위너 과정)

• 브라운 운동은 연속적이고 무작위적이며 시간에 비례하는 분산을 가짐.
• 브라운 운동의 수학적 모델은 예측 가능하지만 지역적으로는 완전히 예측 불가능함.

4. 이토 미적분

• 브라운 운동은 불규칙하여 미분 불가능함.
• 이토 미적분은 브라운 운동의 무작위성을 처리하기 위한 새로운 시스템을 개발함.
• 이토의 보조정리는 무작위성을 위한 체인 룰을 제공함.

5. 확률 미분 방정식

• 이토 미적분은 확률 미분 방정식을 다루는 도구를 제공함.
• 확률 미분 방정식은 결정론적 행동과 확률적 노이즈를 결합하여 시스템을 모델링함.

6. 스트라토노비치 미적분

• 스트라토노비치 미적분은 이토 미적분의 두 번째 미분 항을 제거하여 표준 체인 룰을 유지함.
• 물리적 시스템이나 계산을 단순화하는 데 유용함.

부록

A.0. 추가 읽기

• 확률 미분 방정식에 대한 직관적 소개 및 해결 방법을 제공하는 자료들.

A.1. 표기법

• 문서에서 사용된 표기법 목록 제공.