이모지 문제 (2022)

• 인터넷에서 유명해진 이모지 수학 문제는 함정 요소 때문에 다양한 답이 발생하는 특징을 가짐
• 수학 커뮤니티에서는 이런 문제에 대한 대안으로 진짜로 어려운 문제를 만들고자 했음
• 해당 포스팅에서는 피타고라스 삼중항을 찾는 방법과 관련 기법(선 긋기) 을 설명함
• 난이도 높은 이모지 문제는 타원 곡선과 유리수 해 분석이 핵심임
• 수학적 도구 및 Mathematica를 통해 해를 찾아나가는 전략을 강조함

이모지 수학 문제의 배경과 등장

인터넷에서는 이모지(혹은 과일 그림 등) 로 표현된 수학 문제가 확산됨. 이 문제들은 헷갈릴 수 있는 요소(예: 바나나 개수의 미묘한 차이) 로 인해 한 문제에 대해 여러 답이 나와 논란과 바이럴 효과가 생김. 실제 수학자, 수학 커뮤니티에서는 이런 문제에 염증을 느꼈고, 2017년 reddit의 r/math에는 “진짜로 어려운 그림 수학 문제를 만들어보자”는 스레드가 등장함. 이곳에서 발표된 문제가 기존과 달리 정수 해를 찾는 게 쉬운 수준이었으나, Sridhar Ramesh라는 이가 약간 변형해 엄청나게 어려운 문제로 만듦. 변형된 문제의 가장 작은 해조차 80자리 이상의 숫자를 가지며, 타원 곡선과 관련한 고급 지식이 필요하다는 평가를 받게 됨.

피타고라스 삼중항을 구하는 따뜻한 예제

먼저 쉬운 문제로 피타고라스 삼중항 전수 방식을 다룸. x² + y² = z²을 만족하는 정수 해(Diophantine 방정식) 를 찾는 대신, x₁² + y₁² = 1에서 유리수 해(분수형 해) 를 찾는 것으로 접근.

• 이때 x₁ = x/z, y₁ = y/z로 치환하면, 문제는 단위원 위에 존재하는 모든 유리수 점을 찾는 것으로 변환됨
• 원점 (0,1) 등을 시작점으로 잡고, 유리 기울기의 직선을 긋는다고 생각
• 해당 직선과 원이 만나는 두 번째 교점은 항상 유리수 점이 됨
• 이는 Vieta 공식 등에서 확인할 수 있으며, 기울기를 고정해 모든 유리수 점에 도달 가능
• 이를 정리하면, 피타고라스 삼중항은 (x, y, z) = (2mn, n²–m², n²+m²) 구조로 특성화 가능함(양의 정수 m, n에 대해 성립)
• 핵심은 “선을 그으면 새 점이 나온다”는 원리임

원래 이모지 문제: 고난도 방정식을 타원 곡선으로 변환

문제의 핵심 수식은 x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) = 4 로 시작. 이를 정리하면 x³+y³+z³ = 3(x²(y+z)+y²(x+z)+z²(x+y)) + 8xyz 형태로 변환.

• x₁ = x/z, y₁ = y/z로 치환, 전체를 z³로 나누어 유리수 해 분석으로 진행
• 대입 후 나온 식은 x₁³ + y₁³ + 1 = 3(x₁²(y₁+1)+y₁²(x₁+1)+x₁+y₁) + 8x₁y₁ 임
• 시각화하면, 이 식의 그래프는 대칭적이며 좌표축을 적당히 회전 및 재치환(x₂, y₂)하여 더 단순한 형태로 정리
• 최종적으로 타원 곡선 형태의 다음 방정식이 도출됨: 1 - 6x₂ - 11x₂² - 4x₂³ - y₂² + 12x₂y₂² = 0

타원 곡선에서의 유리수 점 생성 원리

타원 곡선 위 두 유리수 점(P, Q)을 선택해 두 점을 잇는 직선을 긋고, 그 직선과 곡선의 세 번째 교점 R을 찾는 절차를 설명

• 세 점(P, Q, R)은 모두 유리수 좌표를 가지게 됨
• Vieta 공식과 선의 기울기 및 대수적 변형을 이용, 일관된 수식에서 세 번째 교점 계산이 가능함
• 동일한 점(P=Q)에서 그리는 직선은 접선이 되며, 이 경우도 동일 원리 적용
• “두 유리수 점을 연결하면 또 다른 유리수 점이 생긴다”는 점이 중요

유리수 점 ‘증식’의 한계와 무한 차수 점의 발견

타원 곡선 위에서 간단히 찾을 수 있는 자명한 유리수 점((0,1), (-1,0), (0,-1) 등)은 각각 해에 의미 없는 결과로 연결됨.

• 이 점들만으로는 더 이상 새로운 유리수 점을 생성할 수 없는 토션 포인트(유한 차수 점) 만 반복
• 미지의, 무한 차수(무한 개수 해를 제공) 점이 필요함
• Mathematica 등 컴퓨터 계산을 활용, 새로운 유리수 점을 발견했는데 예를 들어 (-2, 1/5) 형태임(이 점을 A라 이름붙임)
• 이 점을 활용, 접선 또는 다른 점과의 직선을 적용해 점점 더 새로운, 복잡한 유리수 해를 양산할 수 있음

실제 양수 해를 가지는 조건과 반복적 계산

문제의 해는 모든 x, y, z가 양수가 되어야 의미가 있음. 수식 전개상, z > 0를 가정할 때 x₁ > 0, y₁ > 0이 필요하고, 치환된 좌표(x₂, y₂)에 대해 x₂ > |y₂|을 만족시켜야 함.

• 이 조건을 만족하는 영역(그래프의 특정 부분)을 ‘목표 구역’으로 삼고, 라인 트릭을 반복해 해당 영역의 유리수 해에 도달
• 계산 과정에서 실제 유리수 점의 x좌표와 y좌표는 각각 복잡한 대수식(L, T와 Y 함수)을 활용해 구함
• 이런 방식으로 접선 및 직선 기울기 계산, 반복적 적용을 거치면 수십 자리의 매우 큰 해에 도달함

결론

주어진 이모지 수학 문제는 단순해 보이지만, 실제로는 타원 곡선의 성질 및 유리수 점 생성 원리를 적극적으로 활용해야 하며, 경우에 따라서는 해의 수치가 기하급수적으로 커짐.

• 간단한 구조-기반의 “선을 그어 새 점을 얻는다”는 원리는 타원 곡선에서도 변형되어 적용
• 실제 정수 해 또는 양수 해를 찾는 과정은 상당히 복잡하며, 컴퓨터 대수 계산이 필수적임
• 게시물의 후속편에서는 이 과정의 마무리, 더 깊은 수학적 배경 및 해 명세가 이어질 예정임