예상치 못한 곳에서 비롯된 새로운 구형 적재 기록

• Boaz Klartag는 기존 접근과 달리 초고차원 구 적재 문제에 볼록기하학 도구를 도입함
• Klartag의 새로운 임의적 방법은 더 큰 부피의 타원체를 생성해 기존의 기록을 대폭 갱신함
• 이 접근법은 고차원 공간에서 구를 극적으로 더 많이 적재할 수 있게 함
• 이번 결과는 적재의 질서와 대칭성의 중요성에 대한 논쟁을 부활시킴
• 연구는 암호학과 통신 분야 등 다양한 응용 가능성에 대해 주목을 받음

기존 구 적재 연구와 제한

• 과거 Rogers 방법의 장점은 시작 격자가 반드시 효율적일 필요 없이 적절한 타원체만 선택하면 된다는 점이었음
• 하지만 타원체의 축은 고차원에서 다양하게 변형될 수 있으므로, 어떤 형태로 성장시킬지 선택지가 지나치게 많았음
• 이후 수학자들은 Minkowski 방식으로 회귀해 격자 자체에 집중했고, 격자 이론에 전문화됐으며 Rogers의 기하 중심 접근에서 멀어졌음
• 이 전략은 고차원 구 적재에서 점진적 개선을 보였으나, Rogers 방식 대비 근소한 효율 향상에 그쳤음
• 수십 년간 큰 도약은 나오지 않았고 정체 상태가 이어졌음

외부 시각에서 시작된 혁신

• Weizmann Institute of Science의 Boaz Klartag는 원래 격자 이론이 아닌 볼록기하학 전공자임
• 오랜 기간 구 적재문제에 관심은 있었으나 연구 기회를 얻지 못했음
• 2023년 새로운 시간을 가지게 되어, Tel Aviv University의 Barak Weiss와 세미나를 열어 고전 문헌(Minkowski, Rogers) 를 집중적으로 탐구함
• Klartag는 Rogers의 타원체 방법이 볼록도형 조작에 대한 노하우 부족으로 비효율적이었다고 판단함
• 더 효율적인 타원체를 만들면 구 적재의 기록을 새로 쓸 수 있다는 자신감을 가짐

임의적 성장 알고리듬의 도입

• Klartag는 각 축 방향별로 타원체 경계를 임의로 팽창/수축시키는 자신만의 방법을 적용함
• 경계가 격자점에 닿으면 해당 방향의 성장을 멈추고, 다른 방향으로는 성장 지속
• 이 과정에서 타원체는 불규칙한 형태로 공간을 탐색하며 점차 커짐
• 임의적 특성으로 생성 타원체마다 부피가 다르기 때문에 여러 번 실험하여 더 큰 부피의 타원체 가능성을 평가함
• 몇 주 만에 기존 Rogers보다 큰 타원체가 나올 수 있음을 증명함

기록 갱신과 영향

• 새로운 타원체 방식은 Rogers(1947) 이후 최대폭의 구 적재 효율 개선을 달성함
• 차원이 d일 때, 이전 방식 대비 d배나 많은 구 적재가 가능함
  • 100차원 → 약 100배, 1,000,000차원 → 약 100만 배의 구 적재
• Klartag는 볼록기하학에서의 통찰로 격자와 구 적재의 오래된 중앙 문제를 몇 개월 내에 돌파함
• 그의 성과로 질서와 대칭성 기반 적재가 가장 촘촘한 적재를 달성할 수 있다는 견해가 다시 부각됨
• 반면 최근에는 규칙적인 격자 없이 무질서함을 이용해야 한다는 연구도 경쟁함

평가와 미래 전망

• 현재 Klartag의 적재 방식이 진정한 최적에 가까운지, 추가 개선 여지가 있는지에 대해 학계 내부에서 논쟁이 있음
• 이 문제의 해답은 암호학, 통신공학 등 실제 적용에서도 매우 중요함
• 아직 실무 적용 단계는 아니지만 공학계 등에서 신기술로 주목받고 있음
• Klartag는 이번 계기로 볼록기하학과 격자 이론의 연계가 강화되길 바람
• 두 분야의 단절을 극복하고 이 융합이 적재 외의 격자 문제 해법까지 확장되길 희망함